Ciekawostka na dziś. Matematyka nie kłamie, płaskośródziemcy w odwrocie, a NASA stara się ukryć, że tolkienowskie Śródziemie leży na Plutonie?

Oczywiste jest, że dystans pomiędzy dwoma punktami będzie różnił się w zależności od przestrzeni, w jakiej się znajdujemy. Przestrzenie te mogą być różnie zdefiniowane, np. jako euklidesowa, która jest bardzo dobrym przybliżeniem naszej codziennej makroskopowej rzeczywistości, ale można ją też zdefiniować dowolnie inaczej, np. jako metrykę taksówki: https://en.wikipedia.org/wiki/Taxicab_geometry
Ze szkoły raczej każdy powinien wiedzieć jak obliczyć najkrótszą odległość między dwoma współrzędnymi na płaszczyźnie, gdyż wynika to wprost z twierdzenia Pitagorasa. Sprawa ta nieco komplikuje się, gdy na przykład chcielibyśmy wyznaczyć odległość dwóch punktów na kuli, ale z pomocą przyjdą nam funkcje cyklometryczne (funkcje odwrotne do trygonometrycznych).

Proces ten jednak można próbować odwrócić i znając odległości pomiędzy poszczególnymi punktami, możemy próbować określić, w jakiej przestrzeni się znajdujemy, a pomóc w tym może wyznacznik macierzy Cayleya-Mengera. Przede wszystkim zauważmy, że tak jak każde 2 punkty są współliniowe, można wskazać, że 3 punkty są współpłaszczyznowe (definiują jednoznacznie płaszczyznę, która je przecina). Potrzebować będziemy zatem czwartego punktu, jeżeli i on leży na tej płaszczyźnie to mamy do czynienia z płaskim światem. Sprowadza się więc to do tego, że mając 4 punkty, możemy wykreślić bryłę zwaną czworościanem. Jeżeli jesteśmy na płaszczyźnie to taka "bryła" powinna mieć objętość V = 0 (w istocie nie być bryłą), a w przypadku 3D będzie mieć V > 0. Samo to jednak nie wystarczy, aby określić czy przestrzeń jest, czy nie jest euklidesowa (spełnia aksjomaty geometrii euklidesowej). Możemy to jednak określić, obliczając współczynnik macierzy Cayleya-Mengera. Jeżeli jest on ujemny, to taka przestrzeń nie jest przestrzenią euklidesową (np. sferyczna). Co ciekawe współczynnik macierzy CM jest w istocie uogólnionym wzorem Herona, który powinniśmy znać ze szkoły lub jak kto woli, to wzór Herona jest szczególnym przypadkiem macierzy CM.
Używając odległości (które jak rozumiem, Tolkien zawarł w swoich książkach?) pomiędzy poszczególnymi miastami w Śródziemiu można więc w istocie określić, że świat nie jest płaski, tylko sferyczny, a rozwiązując te równania ze względu na R (patrz źródła), wskazać, że podane odległości są możliwe do zachowania np. na powierzchni kuli o promieniu 571 lub 693 mil. Jest to odpowiednio 919 lub 1115 km, co w przypadku większego promienia dalej obwód 7007 km, więc byłaby to planeta swoją wielkością porównywalna do Plutona.

Źródła:
https://terrytao.wordpress.com/2019/05/25/the-spherical-cayley-menger-determinant-and-the-radius-of-the-earth/
http://uriasz.am.szczecin.pl/naw_bezp/elipsoida.html
@escarabajo @macio_944